Les nombres complexes étendent les réels en introduisant l'unité imaginaire $i$ telle que $i^2 = -1$. Ils sont fondamentaux en physique, électronique et analyse mathématique.
Tout nombre complexe $z$ s'écrit sous la forme dite cartésienne :
où $a$ et $b$ sont des nombres réels :
$a = \mathcal{Re}(z)$ est la partie réelle de $z$.
$b = \mathcal{Im}(z)$ est la partie imaginaire de $z$.
L'unité imaginaire $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$.
Le conjugué de $z$ est $z^* = a - ib$.
Soit $z = 3 + 2i$
$\mathcal{Re}(z) = 3 \quad$ et $\quad \mathcal{Im}(z) = 2$
$z^* = 3 - 2i$
Un nombre complexe est défini par deux réels $a$ et $b$, on peut donc le représenter géométriquement dans un plan appelé plan complexe ou plan de Gauss. Le point $M$ de coordonnées $(a, b)$ représente $z = a + ib$.
On définit alors deux grandeurs fondamentales :
| Module de $z$, noté $|z|$ | $$|z| = \sqrt{zz^*} = \sqrt{a^2 + b^2}$$ |
| Argument de $z$, noté $\arg(z)$ | $$\tan[\arg(z)] = \frac{b}{a}$$ |
Le module $|z|$ est la distance entre l'origine O et le point $M(a, b)$. L'argument $\arg(z)$ est l'angle formé entre l'axe des réels positifs et la demi-droite $[OM)$.
Déplacez $a$ et $b$ pour visualiser le nombre complexe.
En posant $\rho = |z|$ (le module) et $\theta = \arg(z)$ (l'argument), on peut réécrire tout nombre complexe sous sa forme polaire :
Cette écriture met en évidence la géométrie du nombre complexe : $\rho$ donne sa distance à l'origine, $\theta$ donne son orientation dans le plan.
$\rho = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$\theta = \arg(z) = \arctan\!\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$
Donc : $z = \sqrt{2}\!\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$
Euler a démontré que pour tout réel $\theta$ :
On peut ainsi écrire tout complexe $z$ de module $\rho$ et d'argument $\theta$ sous sa forme exponentielle :
Cette notation est extrêmement pratique, notamment en physique et en électronique. Deux conséquences immédiates et célèbres :
| Identité d'Euler ($\theta = \pi$) | $$e^{i\pi} + 1 = 0$$ |
| Formule de de Moivre | $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$ |
| Cosinus en exponentielle | $$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$ |
| Sinus en exponentielle | $$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$ |
L'identité $e^{i\pi} + 1 = 0$ relie les cinq constantes mathématiques fondamentales : $e$, $i$, $\pi$, $1$ et $0$. Elle est souvent citée comme la plus belle équation des mathématiques.
Soient $z_1 = \rho_1 e^{i\theta_1}$ et $z_2 = \rho_2 e^{i\theta_2}$ deux nombres complexes.
| Produit (module) | $$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$$ |
| Produit (argument) | $$\arg(z_1 z_2) = \theta_1 + \theta_2$$ |
| Forme exponentielle | $$z_1 z_2 = \rho_1 \rho_2\, e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$ |
| Division | $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\, e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$ |
| Puissance $n$ | $$z^n = \rho^n\, e^{in\theta}$$ |
| $z + z^*$ | $= 2\,\mathcal{Re}(z) = 2a$ |
| $z - z^*$ | $= 2i\,\mathcal{Im}(z) = 2ib$ |
| $z \cdot z^*$ | $= |z|^2 = a^2 + b^2$ |
| $|z^*|$ | $= |z|$ |
Saisissez un nombre complexe $z = a + ib$ et obtenez toutes ses représentations automatiquement.
Entrez $a$ et $b$ pour calculer module, argument et forme exponentielle.