La trigonométrie étudie les relations entre angles et longueurs. Fondée sur le cercle trigonométrique, elle est indispensable en analyse, physique et ingénierie.
L'unité SI des angles est le radian. Un tour complet de 360° correspond à $2\pi$ radians :
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses, le sinus sur l'axe des ordonnées.
Le théorème de Pythagore appliqué au cercle trigonométrique donne : $$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$
Ces valeurs sont à connaître absolument par cœur :
| Angle (rad) | Angle (°) | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0°$ | $0$ | $1$ |
| $\dfrac{\pi}{6}$ | $30°$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\dfrac{\pi}{4}$ | $45°$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $\dfrac{\pi}{3}$ | $60°$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\dfrac{\pi}{2}$ | $90°$ | $1$ | $0$ |
Pour $\sin$ : $0,\ \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ 1$ — les valeurs croissent de $0$ à $\frac{\pi}{2}$. Pour $\cos$, c'est l'ordre inverse.
Ces relations découlent des symétries géométriques du cercle trigonométrique :
$\cos(-x) = \cos x$
$\cos(\pi - x) = -\cos x$
$\cos(\pi + x) = -\cos x$
$\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$
$\cos\!\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$
$\sin(-x) = -\sin x$
$\sin(\pi - x) = \sin x$
$\sin(\pi + x) = -\sin x$
$\sin\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$
$\sin\!\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$
$\cos$ est paire : $\cos(-x) = \cos x$. $\sin$ est impaire : $\sin(-x) = -\sin x$.
| $\cos(a+b)$ | $= \cos a\cos b - \sin a\sin b$ |
| $\cos(a-b)$ | $= \cos a\cos b + \sin a\sin b$ |
| $\sin(a+b)$ | $= \sin a\cos b + \cos a\sin b$ |
| $\sin(a-b)$ | $= \sin a\cos b - \cos a\sin b$ |
| $\cos(2a)$ | $= \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ |
| $\sin(2a)$ | $= 2\sin a\cos a$ |
D'après la formule d'Euler : $e^{2ia} = \cos(2a) + i\sin(2a)$
Or $e^{2ia} = (e^{ia})^2 = (\cos a + i\sin a)^2 = \cos^2 a - \sin^2 a + 2i\cos a\sin a$
Par identification : $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$ et $\sin(2a) = 2\sin a\cos a$
| $\cos a\cos b$ | $= \dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right]$ |
| $\sin a\sin b$ | $= \dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b) - \cos(a+b)\right]$ |
| $\sin a\cos b$ | $= \dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b) + \sin(a-b)\right]$ |
| $\cos p + \cos q$ | $= 2\cos\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ |
| $\cos p - \cos q$ | $= -2\sin\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ |
| $\sin p + \sin q$ | $= 2\sin\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ |
| $\sin p - \sin q$ | $= 2\cos\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$ |
Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques, définies à partir de l'exponentielle réelle :
Analogue à $\cos^2 + \sin^2 = 1$, on a : $$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$$
| $\cosh(ix)$ | $= \cos x$ |
| $\sinh(ix)$ | $= i\sin x$ |
| $\cos(ix)$ | $= \cosh x$ |
| $\sin(ix)$ | $= i\sinh x$ |
| $(\sin x)'$ | $= \cos x$ |
| $(\cos x)'$ | $= -\sin x$ |
| $(\tan x)'$ | $= 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ |
| $(\sinh x)'$ | $= \cosh x$ |
| $(\cosh x)'$ | $= \sinh x$ |
| $(\tanh x)'$ | $= 1 - \tanh^2 x = \dfrac{1}{\cosh^2 x}$ |
Faites varier l'angle $\theta$ et observez les valeurs de sinus et cosinus en temps réel.
Déplacez le curseur pour changer l'angle $\theta$.