Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ telle que $F' = f$. Ce tableau regroupe les primitives des fonctions usuelles avec leurs domaines de définition et de validité.
On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ où $C \in \mathbb{R}$ est une constante arbitraire.
On note : $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$
Pour toutes les formules ci-dessous, $C \in \mathbb{R}$ est une constante d'intégration.
| Famille | Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x) + C$ | Domaine de validité |
|---|---|---|---|
| Puissances et polynômes | |||
| Constante | $a$ | $ax$ | $\mathbb{R}$ |
| Identité | $x$ | $\dfrac{x^2}{2}$ | $\mathbb{R}$ |
| Puissance $n \neq -1$ | $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ si $n \in \mathbb{N}$, sinon $\mathbb{R}^*_+$ |
| Puissance réelle | $x^\alpha,\ \alpha \neq -1$ | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ | $\mathbb{R}^*_+$ |
| Inverse | $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $\mathbb{R}^*_+$ ou $\mathbb{R}^*_-$ |
| Inverse carré | $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x}$ | $\mathbb{R}^*_+$ ou $\mathbb{R}^*_-$ |
| Racine carrée | $\sqrt{x}$ | $\dfrac{2}{3}x^{3/2}$ | $\mathbb{R}^*_+$ |
| Fonctions exponentielles et logarithmes | |||
| Exponentielle | $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| Exponentielle affine | $e^{ax+b}$ | $\dfrac{1}{a}e^{ax+b}$ | $\mathbb{R}$, $a \neq 0$ |
| Puissance de $a$ | $a^x$ | $\dfrac{a^x}{\ln a}$ | $\mathbb{R}$, $a > 0,\ a \neq 1$ |
| Logarithme | $\ln x$ | $x\ln x - x$ | $\mathbb{R}^*_+$ |
| Inverse sur $\mathbb{R}^+$ | $\dfrac{1}{x}$ | $\ln x$ | $\mathbb{R}^*_+$ |
| Fonctions trigonométriques | |||
| Cosinus | $\cos x$ | $\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| Sinus | $\sin x$ | $-\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| Tangente | $\tan x$ | $-\ln|\cos x|$ | $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$ |
| $1/\cos^2$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ | $\tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$ |
| $1/\sin^2$ | $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x$ | $\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$ |
| Fonctions trigonométriques inverses | |||
| Arcsin | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x$ | $]-1,\,1[$ |
| Arccos | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x$ | $]-1,\,1[$ |
| Arctan | $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x$ | $\mathbb{R}$ |
| Arctan (variante) | $\dfrac{1}{a^2+x^2}$ | $\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}$ | $\mathbb{R}$, $a \neq 0$ |
| Fonctions hyperboliques | |||
| Cosinus hyperbolique | $\cosh x$ | $\sinh x$ | $\mathbb{R}$ |
| Sinus hyperbolique | $\sinh x$ | $\cosh x$ | $\mathbb{R}$ |
| $1/\cosh^2$ | $\dfrac{1}{\cosh^2 x}$ | $\tanh x$ | $\mathbb{R}$ |
| Formes utiles | |||
| Inverse de racine | $\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ | $\arcsin\dfrac{x}{a}$ | $]-a,\,a[$, $a > 0$ |
| Fraction rationnelle | $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ | $\ln\!\left(x + \sqrt{x^2+a^2}\right)$ | $\mathbb{R}$ |
| Fraction rationnelle | $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$ | $\ln\!\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right|$ | $|x| > a > 0$ |
| Composée usuelle | $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ | $\ln|f(x)|$ | $f(x) \neq 0$ |
| Composée usuelle | $f'(x)\cdot e^{f(x)}$ | $e^{f(x)}$ | Domaine de $f$ |
| Composée usuelle | $\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ | $\sqrt{f(x)}$ | $f(x) > 0$ |
Ne pas oublier la constante d'intégration $C$ pour toute primitive calculée sans bornes. Elle disparaît uniquement lors du calcul d'une intégrale définie $\int_a^b$.
Règle LIATE : choisir $u$ dans l'ordre Logarithme, Inverse trig., Algébrique (polynôme), Trigonométrique, Exponentielle. On dérive $u$ et on intègre $v'$.
Selon la forme de la fonction à intégrer, différentes stratégies s'appliquent :
| Forme de $f(x)$ | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Polynôme | Intégration terme à terme | $\int (3x^2 + 2x)\,dx = x^3 + x^2 + C$ |
| $\frac{f'}{f}$ | Logarithme direct | $\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln(x^2+1) + C$ |
| $f' \cdot e^f$ | Exponentielle composée | $\int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$ |
| Produit $P(x) \cdot e^x$ | Intégration par parties | $\int x e^x dx = xe^x - e^x + C$ |
| Fraction rationnelle | Décomposition en éléments simples | $\int \frac{1}{x^2-1}\,dx$ |
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | Substitution $x = a\sin\theta$ | $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$ |
| $\sqrt{x^2 + a^2}$ | Substitution $x = a\sinh t$ | $\int \sqrt{x^2+1}\,dx$ |