L’algèbre linéaire est le langage universel des mathématiques modernes. Espaces vectoriels, applications linéaires, formes linéaires : ce chapitre pose les fondations indispensables à toute la suite du programme.
Un $\mathbb{K}$-espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire vérifiant les axiomes usuels. Les exemples fondamentaux sont $\mathbb{K}^n$, $\mathbb{K}[X]$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et les espaces de fonctions $\mathbb{K}^X$.
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $0_E \in F$ et $\forall x, y \in F,\, \forall \lambda \in \mathbb{K},\; \lambda x + y \in F$.
Cette caractérisation (stabilité par combinaison linéaire) est la plus utilisée en pratique. L’intersection de deux sous-espaces est un sous-espace ; ce n’est pas le cas en général de leur union.
$(u_i)_{i \in I}$ est libre si $\displaystyle\sum_{i \in I} \lambda_i u_i = 0_E \Rightarrow \forall i,\, \lambda_i = 0$. Autrement dit, la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale.
$(u_i)_{i \in I}$ est génératrice si tout vecteur de $E$ s’écrit comme combinaison linéaire de la famille : $E = \mathrm{Vect}_{i \in I}(u_i)$.
Une base est une famille à la fois libre et génératrice. Tout vecteur de $E$ s’y décompose de façon unique.
Toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degré est libre.
Dans un espace de dimension finie $n$, toutes les bases ont le même cardinal $n$.
Si $F$ est une famille de $n$ vecteurs : libre $\Leftrightarrow$ génératrice $\Leftrightarrow$ base.
Base extraite : de toute famille génératrice on peut extraire une base.
Base incomplète : toute famille libre peut être complétée en une base.
Dimension d’un s.e.v. : si $F \subset E$ avec $\dim F = \dim E$, alors $F = E$.
Le rang de $(u_1, \ldots, u_p)$ est $\dim \mathrm{Vect}(u_1, \ldots, u_p)$. La famille est libre ssi son rang vaut $p$, génératrice de $E$ ssi son rang vaut $\dim E$.
Dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$, on représente tout vecteur $x$ par ses coordonnées $X = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(x) \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$.
La matrice de passage $P = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$. Elle est inversible et $P^{-1} = P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$.
Formule : $X = P X'$, c’est-à-dire $X' = P^{-1} X$.
$F$ et $G$ sont en somme directe ($E = F \oplus G$) lorsque tout vecteur de $E$ se décompose de façon unique en somme d’un élément de $F$ et d’un élément de $G$.
$F \cap G = \{0_E\} \Leftrightarrow$ somme directe.
$\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$.
En dimension finie, $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ ssi deux des trois conditions suivantes sont vérifiées : $E = F + G$, $F \cap G = \{0\}$, $\dim E = \dim F + \dim G$.
$F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y - 3z = 0\}$ est un s.e.v. de $\mathbb{R}^3$ car $0 \in F$ et si $u, v \in F$, alors $(\lambda u + v)$ vérifie aussi l’équation par linéarité.
$f : E \to F$ est linéaire si $\forall x, y \in E,\, \forall \lambda \in \mathbb{K},\; f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y)$.
L’ensemble $\mathcal{L}(E, F)$ est lui-même un espace vectoriel. Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, $\dim \mathcal{L}(E,F) = \dim E \times \dim F$.
Toute application linéaire vérifie $f(0_E) = 0_F$. C’est un test rapide de non-linéarité.
$\mathrm{Im}(f) = f(E)$ est un s.e.v. de $F$. $\mathrm{Ker}(f) = f^{-1}(\{0_F\})$ est un s.e.v. de $E$.
$f$ est injective $\Leftrightarrow$ $\mathrm{Ker}(f) = \{0_E\}$.
Si $E$ est de dimension finie : $\dim E = \dim \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{rg}(f)$.
Pour $f \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie :
$f$ injective $\Leftrightarrow$ $f$ surjective $\Leftrightarrow$ $f$ bijective.
Pour résoudre $f(x) = y$ avec $y \in \mathrm{Im}(f)$ et $x_0$ une solution particulière :
$$\mathcal{S} = x_0 + \mathrm{Ker}(f)$$C’est un sous-espace affine. Si $\mathrm{Ker}(f) = \{0\}$, la solution est unique ; sinon il y en a une infinité.
Dans des bases $\mathcal{B}$ de $E$ et $\mathcal{B}'$ de $F$, la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$ a pour $j$-ième colonne les coordonnées de $f(e_j)$ dans $\mathcal{B}'$.
Si $M$ est la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$ et $M'$ dans $\mathcal{B}'$, avec $P = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$ :
$M' = P^{-1} M P$
Deux matrices représentant le même endomorphisme sont dites semblables. Elles ont même rang, même trace et même déterminant.
| Monde vectoriel | Monde matriciel |
|---|---|
| $x \in E$ | $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ |
| $f \in \mathcal{L}(E)$ | $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ |
| $f(x)$ | $MX$ |
| $f \circ g$ | $MN$ |
| $f^{-1}$, $f \in GL(E)$ | $M^{-1}$, $M \in GL_n(\mathbb{K})$ |
$p \in \mathcal{L}(E)$ est un projecteur ssi $p \circ p = p$. Alors $E = \mathrm{Im}(p) \oplus \mathrm{Ker}(p)$, et dans une base adaptée sa matrice est diagonale avec des $1$ et des $0$.
$s \in \mathcal{L}(E)$ est une symétrie ssi $s \circ s = \mathrm{id}_E$. Alors $E = \mathrm{Ker}(s - \mathrm{id}) \oplus \mathrm{Ker}(s + \mathrm{id})$, et dans une base adaptée sa matrice est diagonale avec des $1$ et des $-1$.
$\varphi : P \mapsto XP' - P$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$. Sa matrice dans la base canonique est :
$$M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
On lit directement $\mathrm{Ker}(\varphi) = \mathrm{Vect}(X)$ et $\mathrm{Im}(\varphi) = \mathrm{Vect}(1, X^2)$.
Une forme linéaire est une application linéaire de $E$ dans $\mathbb{K}$. L’espace $E^* = \mathcal{L}(E, \mathbb{K})$ est appelé espace dual. En dimension finie, $\dim E^* = \dim E$.
Les formes linéaires sur $\mathbb{K}^n$ sont exactement les applications $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto \alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_n x_n$.
Les formes coordonnées $e_i^* : x \mapsto x_i$ associées à une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ forment une base de $E^*$, appelée base duale de $\mathcal{B}$. On a $e_i^*(e_j) = \delta_{i,j}$.
Un hyperplan de $E$ est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
$H$ est un hyperplan de $E$ ssi $H$ admet une droite vectorielle comme supplémentaire, c’est-à-dire : $\exists\, u \neq 0_E,\; E = H \oplus \mathrm{Vect}(u)$.
En dimension finie $n$ : $H$ est un hyperplan ssi $\dim H = n - 1$.
L’intersection de $p$ hyperplans de $E$ (dim $n$) est un sous-espace de dimension $\geq n - p$.
Tout sous-espace de dimension $n - p$ est l’intersection de $p$ hyperplans.
L’ensemble des solutions d’un système homogène de $p$ équations en $n$ inconnues est l’intersection de $p$ hyperplans de $\mathbb{K}^n$, donc un espace de dimension $\geq n - p$. L’égalité a lieu si et seulement si les équations sont linéairement indépendantes.
$F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mid 3x - 2y + z = t\}$ est un hyperplan de $\mathbb{R}^4$ comme noyau de la forme linéaire $(x,y,z,t) \mapsto 3x - 2y + z - t$. Un supplémentaire de $F$ est $\mathrm{Vect}(1,1,1,1)$.