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Optique ondulatoire — Page 3

1 · Bases & Young 2 · Lames & Michelson 3 · Fabry-Pérot & Réseaux
Table des matières — Page 3
  1. Interféromètre de Fabry-Pérot
  2. Réseaux en transmission
  3. Diffraction
  4. Polarisation

1. Interféromètre de Fabry-Pérot

L'interféromètre de Fabry-Pérot (1897) est formé de deux miroirs partiellement réfléchissants parallèles, séparés d'une distance $e$. Contrairement au Michelson (2 ondes), il exploite les interférences à ondes multiples : chaque aller-retour entre les miroirs génère une onde transmise, et toutes ces ondes interfèrent.

Formule d'Airy — transmittance

Si $R$ est le coefficient de réflexion en intensité de chaque miroir, la transmittance (fraction d'intensité transmise) en fonction de la différence de marche $\delta = 2ne\cos\theta$ est :

Formule d'Airy
$$\mathcal{T} = \frac{(1-R)^2}{1 + R^2 - 2R\cos\varphi} = \frac{1}{1 + \mathcal{F}\sin^2(\varphi/2)}$$
$\varphi = 2\pi\delta/\lambda_0 = 4\pi ne\cos\theta/\lambda_0$ : déphasage par aller-retour · $\mathcal{F} = 4R/(1-R)^2$ : finesse en coefficient

La transmittance vaut 1 (maximum) quand $\varphi = 2p\pi$, soit $\delta = p\lambda_0$. Les pics de transmission sont très étroits quand $R$ est grand (miroirs très réfléchissants).

Finesse et pouvoir de résolution

Finesse $\mathcal{F}^*$ et pouvoir de résolution
$$\mathcal{F}^* = \frac{\pi\sqrt{R}}{1-R} \qquad \mathcal{R} = \frac{\lambda}{\delta\lambda} = p\,\mathcal{F}^*$$
$p$ : ordre d'interférence · La finesse mesure le nombre de pics par intervalle spectral libre (ISL = $\lambda_0^2/(2ne)$)
Comparaison Michelson / Fabry-Pérot
Nombre d'ondesMichelson : 2 · Fabry-Pérot : multiple ($\gg 2$)
Profil des frangesMichelson : sinusoïdal · FP : pics très fins (Airy)
Pouvoir de résolutionFP très supérieur ($\mathcal{R}$ jusqu'à $10^7$)
Application typiqueMichelson : métrologie · FP : spectroscopie haute résolution

Animation — Fabry-Pérot : profil de transmission (Airy)

Comparez la largeur des pics selon la réflectivité des miroirs.

0.85
5.0 mm
633 nm
—
Finesse $\mathcal{F}^*$
—
Intervalle spectral libre
—
Pouvoir de résolution ($p\approx2ne/\lambda$)

2. Réseaux en transmission

Un réseau de diffraction en transmission est composé de $N$ fentes équidistantes de largeur $a$, séparées par un pas $d$ (distance entre fentes consécutives). L'onde transmise est la superposition de $N$ ondes diffractées, produisant une figure d'interférences à $N$ sources avec enveloppe de diffraction.

Équation du réseau

Condition de diffraction constructive — équation fondamentale du réseau
$$d\!\left(\sin\theta_i + \sin\theta_d\right) = p\,\lambda_0$$
$d$ : pas du réseau · $\theta_i$ : angle d'incidence · $\theta_d$ : angle de diffraction · $p$ : ordre de diffraction ($p = 0, \pm1, \pm2, \ldots$)

En incidence normale ($\theta_i = 0$), la relation se simplifie en $d\sin\theta_p = p\lambda_0$.

Intensité diffractée — réseau de N fentes

Intensité — réseau de $N$ fentes de largeur $a$, pas $d$
$$I(\theta) = I_0 \underbrace{\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2}_{\text{Diffraction}} \cdot \underbrace{\left(\frac{\sin N\beta}{N\sin\beta}\right)^2}_{\text{Interférences}}$$
$\alpha = \pi a \sin\theta/\lambda_0$ · $\beta = \pi d \sin\theta/\lambda_0$

Pouvoir de résolution du réseau

Pouvoir de résolution à l'ordre $p$
$$\mathcal{R} = \frac{\lambda}{\delta\lambda} = p\,N$$
$N$ : nombre total de traits éclairés · Un réseau avec $N=1000$ traits donne $\mathcal{R}=1000$ à l'ordre 1.
Exemple — réseau 600 traits/mm

$d = 1/600\ \text{mm} \approx 1667\ \text{nm}$. Pour $\lambda_0 = 589\ \text{nm}$ (sodium) à l'ordre 1 :

$$\sin\theta_1 = \frac{589}{1667} \approx 0{,}353 \quad \Rightarrow \quad \theta_1 \approx 20{,}7°$$

L'ordre maximum accessible : $p_\text{max} = \lfloor d/\lambda_0 \rfloor = \lfloor 2{,}83 \rfloor = 2$.

Animation — Réseau en transmission

Figure de diffraction en temps réel avec enveloppe de fente unique et pics du réseau.

3.0 µm
0.8 µm
8
0°
Non
—
Ordres accessibles
—
Pouvoir de résolution (ord. 1)
—
Angle ordre 1 ($\lambda$=550 nm)

3. Diffraction

La diffraction est le phénomène par lequel une onde contourne les obstacles et se propage dans les zones d'ombre géométrique. Elle est d'autant plus marquée que $\lambda$ est grand devant la taille de l'ouverture.

Diffraction de Fraunhofer par une fente

Intensité — fente de largeur $a$ (diffraction de Fraunhofer)
$$I(\theta) = I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2, \quad \alpha = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda_0}$$
Premiers zéros : $\sin\theta = \pm p\lambda_0/a$, $p=1,2,\ldots$ · Largeur angulaire du pic central : $\Delta\theta \approx 2\lambda_0/a$

Critère de Rayleigh

Critère de Rayleigh — limite de résolution angulaire

Deux sources ponctuelles sont juste résolues quand le maximum de diffraction de l'une coïncide avec le premier minimum de l'autre :

Fente : $\theta_R = \lambda_0/a$ · Ouverture circulaire (télescope, œil) : $\theta_R = 1{,}22\,\lambda_0/D$

Animation — Diffraction par une fente

Figure de diffraction de Fraunhofer avec enveloppe analytique.

5.0 µm
550 nm
—
Largeur angulaire pic central $2\lambda/a$
—
Critère de Rayleigh $\lambda/a$

4. Polarisation

Une onde électromagnétique transversale peut être polarisée : le vecteur champ électrique $\vec{E}$ oscille selon une direction privilégiée. La lumière naturelle est non polarisée (toutes les directions d'oscillation sont présentes et varient aléatoirement).

Types de polarisation

États de polarisation
Rectiligne (linéaire)$\vec{E}$ oscille selon un axe fixe. Ex. : après un polariseur.
Circulaire$\vec{E}$ tourne à vitesse angulaire constante, amplitude constante.
ElliptiqueCas général : $\vec{E}$ décrit une ellipse. Comprend linéaire et circulaire comme cas particuliers.
Non polariséeDirection de $\vec{E}$ varie aléatoirement (lumière naturelle).

Loi de Malus

Lorsqu'une lumière polarisée linéairement d'intensité $I_0$ traverse un polariseur dont l'axe fait un angle $\theta$ avec la direction de polarisation :

Loi de Malus
$$I = I_0 \cos^2\theta$$
Pour $\theta = 0°$ : $I = I_0$ (transmission totale) · Pour $\theta = 90°$ : $I = 0$ (extinction)

Angle de Brewster

À l'angle de Brewster $\theta_B$, la lumière réfléchie par une surface diélectrique est totalement polarisée (composante $p$ absente) :

Angle de Brewster
$$\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}$$

Animation — Loi de Malus & polarisation

Visualisez l'intensité transmise en fonction de l'angle entre deux polariseurs croisés.

0°
520 nm
I₀
Intensité transmise $I = I_0\cos^2\theta$
0°
Angle entre polariseurs
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