La cristallographie est la science de l'ordre atomique dans les solides. Elle décrit comment les atomes s'organisent périodiquement dans l'espace, définit les symétries de cet arrangement, et permet de relier la structure microscopique aux propriétés macroscopiques des matériaux : résistance mécanique, conductivité électrique, propriétés optiques...
Un cristal est un solide dans lequel les atomes (ou ions, ou molécules) sont arrangés de façon périodique et régulière dans les trois dimensions de l'espace. Cette périodicité s'étend sur de très longues distances devant la taille atomique : on parle d'ordre à long portée.
Cette définition s'oppose à celle des solides amorphes (verre, polymères non cristallisés) où l'arrangement atomique ne présente qu'un ordre local à courte portée, et aux quasi-cristaux, découverts en 1984 par Shechtman, qui présentent de l'ordre à long portée mais sans périodicité stricte (symétrie icosaédrique).
Un cristal parfait est un solide dont la densité atomique $n(\mathbf{r})$ est une fonction périodique de la position : il existe un ensemble de vecteurs de translation $\{\mathbf{T}\}$ tels que $n(\mathbf{r} + \mathbf{T}) = n(\mathbf{r})$ pour tout $\mathbf{r}$.
| Cristal parfait | Ordre à long portée dans les 3 directions. Ex. : NaCl, Fe, Si, diamant. |
| Polycristal | Ensemble de grains cristallins orientés aléatoirement, séparés par des joints de grains. Ex. : métaux usuels, céramiques frittées. |
| Solide amorphe | Ordre à courte portée uniquement (1–2 distances interatomiques). Ex. : verre de silice SiO₂. |
| Quasi-cristal | Ordre à long portée sans périodicité. Symétries icaédriques ou décagonales impossibles pour un cristal classique. |
| Cristal liquide | Ordre orientationnel sans ordre positionnel (phase nématique) ou ordre partiel (phase smectique). |
La cristallographie exploite la symétrie de translation pour décrire un cristal par la simple donnée d'une cellule de base (la maille) et d'un ensemble de vecteurs de translation qui permettent de reconstituer le cristal entier par répétition. Cela réduit considérablement la complexité : au lieu de décrire $10^{23}$ atomes, on décrit seulement les quelques atomes contenus dans la maille.
Le réseau cristallin (ou réseau de Bravais) est l'ensemble des points géométriques périodiquement distribués dans l'espace qui constituent la « charpente » mathématique du cristal. Chaque point du réseau a exactement le même environnement que tous les autres.
Un réseau de Bravais est l'ensemble de tous les vecteurs de la forme : $$\mathbf{R} = n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3$$ où $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ sont les vecteurs primitifs (vecteurs de base) et $n_1, n_2, n_3$ sont des entiers relatifs quelconques.
Une maille est entièrement définie par six paramètres : les longueurs $a, b, c$ des vecteurs primitifs et les angles $\alpha, \beta, \gamma$ entre eux :
Modifiez les paramètres de maille et visualisez le réseau bidimensionnel résultant.
Le cristal réel est obtenu en associant à chaque nœud du réseau un motif (ou base) : un ensemble d'atomes de nature et de position bien définies. Si la base ne contient qu'un seul atome au nœud, la structure est dite monatomique. Sinon, la structure cristalline est le produit de convolution du réseau et de la base :
En 1848, Auguste Bravais démontra qu'il n'existe que 14 types de réseaux tridimensionnels compatibles avec la symétrie de translation, répartis en 7 systèmes cristallins. Cette classification est fondamentale : elle garantit que tout cristal appartient à l'un de ces 14 réseaux.
| Cubique | $a=b=c$, $\alpha=\beta=\gamma=90°$ · 3 réseaux : P, I (centré), F (faces) |
| Quadratique | $a=b\neq c$, $\alpha=\beta=\gamma=90°$ · 2 réseaux : P, I |
| Orthorhombique | $a\neq b\neq c$, $\alpha=\beta=\gamma=90°$ · 4 réseaux : P, C, I, F |
| Hexagonal | $a=b\neq c$, $\alpha=\beta=90°$, $\gamma=120°$ · 1 réseau : P |
| Trigonal (rhomboédrique) | $a=b=c$, $\alpha=\beta=\gamma\neq 90°$ · 1 réseau : R |
| Monoclinique | $a\neq b\neq c$, $\alpha=\gamma=90°\neq\beta$ · 2 réseaux : P, C |
| Triclinique | $a\neq b\neq c$, $\alpha\neq\beta\neq\gamma$ · 1 réseau : P |
Les symboles P, I, C, F, R désignent le type de centrage : P = primitif (nœuds aux sommets seulement), I = centré corps (Innenzentriert, nœud au centre), F = centré faces (nœuds au centre de chaque face), C = centré base (nœuds au centre des faces supérieure et inférieure), R = rhomboédrique.
Sélectionnez un réseau et faites tourner la maille pour visualiser les positions atomiques.
La maille primitive est le plus petit parallélépipède dont la répétition par translation engendre tout le réseau. Elle contient exactement 1 nœud par maille (les nœuds aux sommets sont partagés entre plusieurs mailles). La maille primitive n'est pas unique : on peut en choisir plusieurs différentes pour le même réseau.
La maille de Wigner-Seitz est une maille primitive particulièrement symétrique : c'est la région de l'espace plus proche d'un nœud donné que de n'importe quel autre nœud. Elle est construite par les plans médiateurs des segments reliant le nœud central à ses voisins.
La maille conventionnelle est choisie pour mettre en évidence la symétrie du cristal, même si elle contient plusieurs nœuds (2 pour BCC, 4 pour FCC). Elle est définie par les paramètres de réseau $a, b, c, \alpha, \beta, \gamma$.
| Cubique simple (SC / P) | $8 \times \frac{1}{8} = 1$ atome |
| Cubique centré corps (BCC / I) | $8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2$ atomes |
| Cubique centré faces (FCC / F) | $8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$ atomes |
| Hexagonal compact (HCP) | $2$ atomes par maille primitive |
La densité volumique d'atomes est $n = N/V$ où $N$ est le nombre d'atomes par maille et $V$ le volume de la maille. La masse volumique théorique vaut $\rho = nM/N_A$ où $M$ est la masse molaire atomique et $N_A$ le nombre d'Avogadro.
Visualisez la maille de Wigner-Seitz en 2D et le calcul du nombre d'atomes par maille.
Les indices de Miller $(hkl)$ sont une notation standardisée permettant d'identifier sans ambiguïté n'importe quel plan réticulaire d'un cristal. Introduits par William Hallowes Miller en 1839, ils sont aujourd'hui universellement utilisés en cristallographie, diffraction des rayons X et métallurgie.
Pour trouver les indices de Miller d'un plan :
La distance entre deux plans $(hkl)$ consécutifs est cruciale pour la diffraction. Dans le cas cubique :
Choisissez les indices $h$, $k$, $l$ et visualisez le plan correspondant dans la maille cubique.
Les directions dans un cristal sont notées $[uvw]$ où $u$, $v$, $w$ sont des entiers (positifs ou négatifs) proportionnels aux composantes du vecteur directeur sur les axes cristallographiques. La famille de directions équivalentes par symétrie est notée $\langle uvw \rangle$.
| $[100], [010], [001]$ | Arêtes du cube · Famille $\langle 100 \rangle$ (6 directions) |
| $[110], [1\bar{1}0]$, ... | Diagonales des faces · Famille $\langle 110 \rangle$ (12 directions) |
| $[111], [1\bar{1}\bar{1}]$, ... | Grandes diagonales · Famille $\langle 111 \rangle$ (8 directions) |
Dans un système cubique uniquement, la direction $[hkl]$ est perpendiculaire au plan $(hkl)$. Cette propriété n'est pas vraie dans les autres systèmes cristallins où la métrique n'est pas orthonormée.
Le nickel (Ni) a une structure FCC avec $a = 3{,}524\ \text{Å}$. Calculons $d_{111}$ :
$$d_{111} = \frac{3{,}524}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3{,}524}{\sqrt{3}} = \frac{3{,}524}{1{,}732} \approx 2{,}034\ \text{Å}$$
Cette distance apparaîtra comme un pic de diffraction X à l'angle de Bragg correspondant (voir page 3).